Integrieren Definition

Definition integrieren

Bestimmung von INTEGRAL und Vorteile der Integrität. Unter INTEGRAL versteht man, dass alle wesentlichen Teile / Bereiche einbezogen oder integriert sind:. Die Integration ist zu einem politischen Zauberwort geworden.

einbinden (Deutsch)

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VERB (mit OBJ) integrieren jmd. fügt jo mdn. in etwas ein AK. I. operieren integrieren I. der Coach fügt die neuen Akteure in das Team ein., Sie müssen sich verstärkt in die neue Klasseneinteilung integrieren! Jugendliche integrieren etwas in etwas Acc. zu einem übergreifenden Ganzen und fassen oder vereinen etwas zusammen Forschung sollte auf europ. Niveau eingebunden werden.

Eingliederung

Integrieren steht für: Sozialwissenschaften, Politologie und Ökonomie: Integrierung, die Integrierung von kulturwissenschaftlichen, insbesondere religösen Aspekten, die Integrierung neuer Personengruppen in eine vorhandene Unternehmenskultur, Natur- und Informatikwissenschaften sowie Technologie für: Eine umfassende Darstellung der Einbindung als Basismodell (Metamodell) finden Sie unter Integrationsmodell. Sehen Sie auch: Dies ist eine Seite zur Erläuterung von Begriffen, um mehrere durch ein und dasselbe Stichwort bezeichnete Wörter zu unterscheiden.

mw-headline" id="Geschichte">Geschichte[Bearbeiten | < Quelltext bearbeiten]

Neben der Differenzialrechnung ist die integrale Rechnung der bedeutendste Bereich der Mathematikdisziplin Analyse.} Der Begriff des Integrals ist ein Sammelbegriff für das unbefristete und das definitive Integre. Das Berechnen von Intellegalen wird als Integrieren bezeichnet. Ein bestimmtes ganzzahliges Element einer funktionalen Einheit weist ihr eine Nummer zu. Wenn man in einer Variable das gewisse integrale Element einer realen Funktionalität formt, dann kann das Resultat im flächigen Koordinationssystem als die Oberfläche interpretiert werden, die zwischen dem Diagramm der Funktionalität, der x{\displaystyle x}-Achse sowie den Begrenzungsparallelen zur y{\displaystyle y}-Achse zu finden ist.

Hier werden die Flächenteile unterhalb der x{\displaystyle x}-Achse negative Werte gezählt. Die Wahl dieser Methode erfolgt so, dass das jeweilige Ganzzahlintegral eine geradlinige Darstellung ist, die sowohl für die theoretischen Betrachtungen als auch für die konkreten Kalkulationen eine wesentliche Voraussetzung für das integrale Konzept ist. Damit ist auch gewährleistet, dass der so genannte Haupttheorem der Differential- und Integralrechnung zur Anwendung kommt. Mit dem unbestimmten Ganzzahl einer funktionalen Einheit wird ihr eine Reihe von funktionalen Einheiten zugewiesen, deren Bestandteile als Wurzelfunktionen bezeichnet werden.

Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass ihre ersten Derivate der integrierten Funktionalität entsprechen. Das Kernsatz der Differential- und Integralrechnung gibt Aufschluss darüber, wie aus Wurzelfunktionen gewisse Intellegale errechnet werden können. Anders als bei der Differenzierung gibt es keinen einfachen und nicht alle Anwendungsfälle abdeckenden Mechanismus zur Einbindung auch grundlegender Funktionalitäten.

Für die Einbindung sind geschultes Schätzen, der Einsatz von speziellen Transformationen (Integration durch Ersetzung, Teilintegration), das Aufsuchen in einer integrierten Tabelle oder der Einsatz von Spezial-Computersoftware erforderlich. Oftmals wird die Einbindung nur durch eine so genannte numerische Quadrierung angenähert. Die Chemikerinnen und Chemiker bestimmten die Integralen einer beliebigen Oberfläche mit einer Analysewaage oder einer Mikrowaage: Auf diese Weise konnte er sowohl Bereiche als auch Volumen einiger simpler Objekte ausmachen.

archimedische (287-212 v. Chr.) verbesserten diesen Zugang und schafften es so, den genauen Flächeninhalt eines durch einen parabolischen Bogen und eine Sekans abgegrenzten Bereichs zu bestimmen, ohne auf das damals noch nicht verfügbare Konzept eines Grenzwertes zurückzugreifen; dieses Resultat kann leicht in das integrale einer heute bekannten Quadratfunktion umgewandelt werden.

In seiner Arbeit Die Astronomie Nova (1609) verwendete Johannes Cepler Verfahren der numerischen Integrationslehre, um den Marsorbit zu berechnen. Am Ende des XVII. Jahrhundert ist es Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz gelungen, den Zahnstein in den Differenzstein zu überführen und damit den grundlegenden Analysesatz zu erforschen (zur Entstehungsgeschichte und zum Prioritätskonflikt vgl. den Beitrag Infinitesimaler Zahnstein; zum integralen Zeichen und seiner Entstehungsgeschichte vgl. integrales Zeichen).

Die Bezeichnung integraler Teil geht auf Johann Bernoulli zurück. Augustin-Louis Cauchy hat 1823 erstmalig ein ganzheitliches Konzept entwickelt, das den aktuellen Anforderungen an die Dringlichkeit gerecht wird. "Kompakte " meint hier begrenzt und vervollständigt, so dass nur Funktionalitäten in Abständen der Form[a,b]{\displaystyle[a,b]} berücksichtigt werden. Die integrale Kalkulation zielt auf die Bestimmung des Oberflächeninhalts von gekrümmten, begrenzten Bereichen der Fläche ab.

Meistens werden solche Bereiche in der Anwendung durch zwei kontinuierliche Funktion f,g{\displaystyle f,g} auf einem kleinen Intervall[a,b]{\displaystyle[a,b]} charakterisiert, deren Grafiken den Bereich abgrenzen ( nebenstehende Abbildung). Aufgrund seiner grundlegenden Signifikanz hat dieser Modelltyp eine besondere Bezeichnung: abf(x)dx{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\, \mathrm {d} x}, als integrales Element von a{\displaystyle a} bis b{\displaystyle b} über (oder: von) f{\displaystyle f} von x{\displaystyle x}, dx{\displaystyle \mathrm {d} x} eingelesen.

Die Größe dx{\displaystyle \mathrm {d} x} wird heute allgemein als reine Notationskomponente eingesetzt und steht für die Differenz auf der x{\displaystyle x}-Achse. Anstelle von x{\displaystyle x} können Sie auch eine andere Variablen neben a{\displaystyle a} und b{\displaystyle b} wählen, zum Beispiel t{\displaystyle t}, die den Integralwert nicht verändert.

Wenn das Diagramm einer Funktionalität in Fahrtrichtung der y{\displaystyle y}-Achse um ein Teil c{\displaystyle c} verschoben wird, wird dem zu betrachtenden Bereich ein Quadrat hinzugefügt: Das bedeutet, dass das integrale Element von f{\displaystyle f} die Abweichung zwischen den Bereichen des weissen Bereiches in der Mitte und dem umliegenden Quadrat ist. Dieser Unterschied ist jedoch positiv, d.h. wenn die oben genannte Formeln für eine bestimmte Funktionalität richtig sein sollen, müssen Bereiche unterhalb der x{\displaystyle x}-Achse positiv bewertet werden.

Sind in dem zu prüfenden Zeitintervall eine oder mehrere Nullen vorhanden, gibt das Integal nicht mehr den Bereichsinhalt an, sondern die Summen der (positiven) Bereichsinhalte der Teilbereiche oberhalb der x{\displaystyle x}-Achse und der (negativen) Bereichsinhalte der Teilbereiche unterhalb der x{\displaystyle x}-Achse. Wenn in einem solchen Zeitintervall der Bereich zwischen x{\displaystyle x}-Achse und Diagramm der Funktionalität erforderlich ist, muss das Ganzzahlintegral an den Nullen geteilt werden.

Bei den meisten Anwendungsfällen sind ihre Angaben jedoch irrelevant, da sie unter anderem der Kategorie der kontinuierlichen Funktion entsprechen. Nachfolgend sind einige Merkmale des Bauteils aufgeführt, die oben begründet wurden und für jedes Bauteil ungeachtet der exakten Ausführung zutreffen. Darüber hinaus definieren sie klar das integrale Element der kontinuierlichen Kurven.

Die Verwendung der Schriftzeichen a{\displaystyle a} oder b{\displaystyle b} in obigem Beispiel verursacht unerwünschte Unklarheiten, da sie bereits als Identifikatoren für die Integrationsgrenzen dienen. Achten Sie daher darauf, dass dem für die Integrations-Variable verwendeten Charakter nicht bereits eine andere Relevanz zugeordnet ist. Deshalb wird hier nicht der Versuch unternommen, sie zu beschreiben.

Die Integrations-Variable wird aus dem Differenzial gelesen. In der symbolischen Rechtschreibung von Intellektuellen geht es auf Gottfried Wilhelm Leibniz zurück, Mitbeschreiber der Differenz- und Intellektuellenrechnung. Der Integralcharakter ergibt sich aus dem Brief long s (?) für lateinisches summa. Der multiplikative Notensatz f(x)dx{\displaystyle f(x)\;\mathrm {d} x} gibt an, wie das integrale - dem Riemann-Integral folgende - aus Höhenstreifen f(x){\displaystyle f(x)} und unendlich kleiner Weite dx{\displaystyle \mathrm {d} x} besteht. werden beschrieben, gelegentlich werden auch beide Zaubersprüche an unterschiedlichen Plätzen verwendet.

Der zweite Hinweis hat den nachteiligen Effekt, dass die zu integrierte Funktionalität f(x){\displaystyle f(x)} nicht mehr von ?ab{\displaystyle \int _{a}^{b}}} und dx{\displaystyle \mathrm {d} x} in Klammern gesetzt wird. Die Formulierung abdx{\displaystyle \int _{a}^{b}\mathrm {d} x} betont, dass das Integal ein Linearoperator ist, der auf alles zu seiner Rechten einwirkt. Im Bereich der physikalischen Technik treten oft Integrationsflächen auf, bei denen die zu implementierende Funktionalität mehrere Linien lang ist oder über mehrere Unwägbarkeiten x1,x2,....,xn{\displaystyle x_{1},x_{2},\dotsc,\ x_{n}}} ist.

Sie wissen dann mit der Rechtschreibung abdxf(x){\displaystyle \int _{a}^{b}\mathrm {d} xf(x)} bereits am Anfang des Intellekts, welche Variablennamen überhaupt und über welche Grenzwerte hinweg eingebunden sind. Außerdem wird die Zuordnung von Parametern zu Begrenzungen erleichtert. eine Sequenz von integrierten Funktionalitäten, die einheitlich zu einer (integrierbaren) Funktionalität f{\displaystyle f} zusammenläuft, dann folgt limn???abfn(x)dx=?abf(x)dx. In diesem Fall wird die Reihenfolge der zu integrierenden Funktionalität festgelegt.

} Das heißt, das Intellekt ist eine kontinuierliche Funktion für die Supremumnorm. ?abf (x)dx=?k=1nLk?ck,{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=1}^{n}L_{k}\cdot c_{k},},} also eindeutig gleich der Gesamtzahl der ausgerichteten Flächen der Quadrate zwischen dem Funktionsdiagramm von f{\displaystyle f} und der x}Achse x{\displaystyle. Eingliederung ist eine eindeutige Umkehr der Differenzierung. Genauer gesagt, wird der Ausdruck "Wurzelfunktion" benötigt:

In diesem Fall wird eine Funktionalität F\displaystyle F} als Root-Funktion von f\displaystyle f} bezeichnet, wenn die Herleitung von F\displaystyle F} gleich ist mit f\displaystyle f}: Diese Umkehr ist mehrdeutig, da unterschiedliche Funktionalitäten (z.B. Polynomfunktionen, die sich nur im Y-Achsenabschnitt unterscheiden) ein und dieselbe Herleitung aufweisen können, was dazu führen kann, dass eine Funktionalität nicht nur eine, sondern unbegrenzt viele Root-Funktionen ausgibt.

Diese Beziehung ist die wichtigste Grundlage für die explizite Bewertung von Integration. Das Problem besteht hauptsächlich darin, eine Wurzelfunktion zu finden. ist für jeden a{\displaystyle a} eine Wurzelfunktion von f{\displaystyle f}. Deshalb ist der Unterschied F-G{\displaystyle F-G} eine Variable. Wenn der Definitionsumfang von f{\displaystyle f} kein Zeitintervall ist, ist der Unterschied zwischen zwei Wurzelfunktionen nur örtlich begrenzt gleich. Um anzuzeigen, dass jede Wurzelfunktion von f{\displaystyle f} die Gestalt F(x)+C{\displaystyle F(x)+C} mit einem konstanten C{\displaystyle C} hat.

Bei der Konstanten C{\displaystyle C} handelt es sich um eine Integralitätskonstante. Sie bezieht sich auf jedes a,b{\displaystyle a,b}. Liste der Ableitungs- und Wurzelfunktionen oder unbestimmten Integralen in der mathematischen Formensammlung. Anders als bei der Herleitungsfunktion ist die ausdrückliche Kalkulation einer Wurzelfunktion für viele Funktionsbereiche sehr aufwändig oder nicht möglich. Daher werden Intelleale oft in Tabellen nachgeschlagen (z.B. eine Integraltabelle).

Für die manuelle Kalkulation einer Wurzelfunktion ist die gekonnte Verwendung der nachfolgenden Standardverfahren oft sinnvoll. Teilintegration ist die Inversion der Produktrichtlinie der Differentialrechnung. Es heißt: Diese Regelung ist vorteilhaft, wenn die Funktionalität f (x)?g?(x){\displaystyle f (x)\cdot g'(x)} leichter zu integrieren ist als diejenige f?(x)?g(x){\displaystyle f'(x)\cdot g(x)}. Beispiel: Die Substitutionsvorschrift ist ein wesentliches Werkzeug zur Kalkulation einiger schwieriger Integreals, da sie die Einbindung bestimmter Funktionsänderungen bei gleichzeitigem Ändern der Integrationsgrenzen ermöglicht.

Im Falle von fraktionell-rationalen Funktionalitäten führen eine Polynomteilung oder eine partielle fraktionierte Zerlegung oft zu einer Transformation der Funktionalität, die es ermöglicht, eine der Integrationsvorschriften aufzustellen. Oftmals ist es möglich, die Wurzelfunktion mit der besonderen Gestalt des Integrads zu ergründen. Es ist auch möglich, mit einem bekanntem Intellekt zu starten und es durch Integrations-Techniken zu transformieren, bis das gewünschte Intellekt erzeugt ist.

Beispiel: Um dx(1+x2)2{\displaystyle \textstyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{(1+x^{2})^{2}}}} zu ermitteln, integrieren wir teilweise das folgende gleichnamige Integral: Da diese Definition für Treppensystemfunktionen dem üblich Mittelwertprinzip entspricht, macht diese Generalisierung Sinn. Das Mittelwertschema der integralen Rechnung besagt, daß dieser Mittelwert von einer kontinuierlichen Einheit im Intervall[a,b]{\displaystyle[a,b]}. express eingenommen wird.

Ausgehend von dieser Geschwindigkeitsgleichung kann durch Differenzierung nach Zeit: und durch erneute Differenzierung nach Beschleunigungen die Geschwindigkeitsgleichung für die Bewegung des in das konstante Gravitationsfeld fallen: Die allgemeingültige Losung lautet: Mit der Zeit ist der Energiegehalt das integrale Element der Macht. Bei der elektrischen Spannung eines Kondensators handelt es sich um das integrale Element des Stroms, der im Laufe der Zeit durch ihn fließt.

Der Integralwert des Produkts aus der Spektralstrahlung (Ee(?) in W/m2Hz) und der Spektralhelligkeitskurve des Augenlichts ergibt die Beleuchtungsstärke in Lux (E in Lux = Lumen/m2). Der Integralwert der Fließgeschwindigkeit (Längskomponente) über den Rohrquerschnitt ergibt den Gesamtvolumenstrom durch das Rohr (weitere multidimensionale Integrale s. u.) Der Integralwert für Treppenhausfunktionen wird durch die vorstehend beschriebene Gleichung bestimmt.

Zur Regelfunktionsklasse gehören alle kontinuierlichen Einzelfunktionen und alle Monotoniefunktionen sowie alle Einzelfunktionen f{\displaystyle f}, für die[a,b]{\displaystyle [a,b]} in eine endliche Anzahl von Intervallen aufteilen kann, die in der Regel in der Regel nicht mehr als eine bestimmte Anzahl von Intervallen sind, wie z. B. die folgenden Ik$, Ik^$, I_{k}), so dass die Beschränkung von f{\displaystyle f} auf ic{displaystyle I_{k}} eine kontinuierliche oder gleichmäßige Funktionalität auf das abgeschlossene Zeitintervall ist. I¯k{\displaystyle {\bar {I}}_{k}}}, d.

h. alle kontinuierlichen Funktionalitäten Stück für Stück. Es beinhaltet auch variabel begrenzte Funktionalitäten, da eine Funktionalität als Unterschied zwischen zwei eintonig zunehmenden Einheiten dargestellt werden kann. Diese integrale Konstruktion ist für viele Anwendungszwecke vollkommen auskömmlich. Außerdem gibt es kontinuierliche und unendlich variierende Funktionalitäten wie die durch 0?{\displaystyle 0\mapsto 0} und /2t{\displaystyle t\mapsto t\cos {\tfrac {\pi /2}{t}}} für 0

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